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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Aplicaciones de la Integral

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6.18. Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
j) J es la región que encierran las gráficas de f(x)=x3,g(x)=x2f(x)=\sqrt[3]{x}, g(x)=x^{2}

Respuesta

En este caso tenemos dos funciones involucradas:

f(x)=x3f(x)=\sqrt[3]{x} y g(x)=x2g(x)=x^{2}

1) Buscamos los puntos de intersección entre ff y gg

x3=x2\sqrt[3]{x} = x^2

Elevamos al cubo ambos miembros: (x3)3=(x2)3(\sqrt[3]{x})^{3} = (x^{2})^{3} x=x6x = x^{6}

x6−x=0x^6 - x = 0

x(x5−1)=0x (x^5 - 1) = 0

Y las soluciones de esta ecuación son x=0x=0 y x=1x=1, por lo tanto, estos son los puntos de intersección entre ff y gg. 

2) Techo y piso

Si evaluamos ff y gg en el intervalo (0,1)(0,1), deberías ver que ff es techo y gg es piso. 

3) Planteamos la integral del área

A=∫01(f(x)−g(x)) dx=∫01(x3−x2) dxA = \int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{0}^{1} (\sqrt[3]{x} - x^{2}) \, dx

Resolvemos la integral, es de tabla (acordate de escribir x3\sqrt[3]{x} como x1/3x^{1/3} 😉)

A= ∫01(x3−x2) dx= (34x43−13x3)∣01= 34−13−0= 512A = \int_{0}^{1} (\sqrt[3]{x} - x^{2}) \, dx = \left(\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{3}x^{3}\right) \Big|_{0}^{1} = \frac{3}{4} - \frac{1}{3} - 0 = \frac{5}{12}
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